肥嘟嘟发大发 

第五单元 东湖高新区学程教研

【单元概述】

本单元是在学生学习了函数的概念和性质，并掌握了研究函数的基本方法的基础上，进一步学习的一种研究函数性质的方法。导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法，因此也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具。

本单元的学习中，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，通过学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想，通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义。

【课程标准】

1. 通过实例分析，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想，理解导数的几何意义。

2. 能根据导数定义求具体函数的导函数，能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数。

3. 借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，能利用导数求函数的极值、最大（小）值，体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系。

【单元目标】

1. 研读文本和271bay资源，说出导数的内涵及其意义并构建一元函数的导数及其应用知识结构。

2. 结合具体函数的图象，探究函数单调性与导数正负号的关系，并能利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，初步形成运用导数研究函数性质的观念。

3. 利用导数研究生活中的最优化问题，并综合研究函数的图象和性质。

4. 从导数的定义、运算、应用三个角度重构一元函数导数及其应用单元四大结构，a层学生能解决导数综合问题，b层学生能解决简单的含参问题，c层学生会求具体函数的单调区间、极值、最值。

【学习导航】

学习过程	学习任务	课时	学习活动
整体认知构建	构建一元函数的导数及其应用知识结构	3	学习活动1：整体认知导数的概念及运算 学习活动2：整体认知导数在研究函数中的应用 学习活动3：构建一元函数导数及其应用知识结构
整体探究构建	探究导数在函数中的应用	6	学习活动4：导数的概念及几何意义 学习活动5：导数的运算 学习活动6：利用导数研究函数的单调性、极值、最大（小）值
整体迁移构建	运用导数解决函数综合问题	5	学习活动7：运用导数探究含参函数的性质 学习活动8：运用导数解决函数零点问题 学习活动9：导数与不等式综合
整体重构过关	纠错反思总结提升	4	学习活动10基础过关：导数的运算 学习活动11应用过关：导数在函数中的应用 单元过关

【单元评价】

评价内容	水平一 ☆	水平二 ☆☆	水平三 ☆☆☆
整体认知构建：一元函数导数及其应用	知道如何得到瞬时速度和抛物线切线斜率，导数的概念。	知道如何用导数的定义推导求导公式和法则。	知道如何用导数研究函数的性质。
整体探究构建：一元函数导数及其应用	说出导数的内涵，会用几个常用函数的求导公式及运算法则求简单函数的导数。	能利用导数的几何意义求切线方程，利用导数研究简单函数的单调性，极值最值问题。	理解用导数研究函数单调性与极值的原理，并总结出解题步骤及注意事项，会利用导数解决生活中的最优化问题。
整体迁移构建：一元函数导数及其应用	能解决简单的含参函数的单调性与极值最值问题。	能解决简单的与函数的零点相关的问题。	利用导数解决不等式有关的综合性问题。
整体重构过关：一元函数导数及其应用	对一元函数的导数的核心内容进行梳理。	会求简单复合函数的导数及切线的斜率，并会利用导数研究函数的单调性、极值、最大（小）值。	能利用导数研究函数的综合问题，能用导数解决生活中的最优化问题。

【学习目标】

1.研读文本和271bay资源，说出导数的概念及其几何意义，如何得到基本初等函数的求导公式和运算法则.

2.结合具体实例，说出如何用导数研究函数的单调性、极值、最大（小）值.

3.从导数的概念、运算，应用三个维度，构建一元函数导数及其应用知识结构.

【构建说明】

材料准备：选择性必修第二册课本、《一元函数的导数及其应用》单元学程、271bay资源；

要求：研读课本p58-p104和相关资源，梳理导数的概念、几何意义，导数的运算、简单复合函数的导数，函数单调性、极值与最大（小）值，完成以下三个学习活动.

学习活动1——整体认知导数的概念及运算

™

问题一：导数的概念及几何意义

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度

（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在

函数关系.如何描述运动

员从起跳到入水的过程中运动的快慢速度？

™

思考探究

1. 研读课本p59-61，思考用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？

2. 瞬时速度与平均速度有什么关系？如何由平均速度过渡到瞬时速度？用到了数学中的哪种思想？

3. 研读课本p62-64，如何求抛物线在点处的切线的斜率？

归纳生成

1.导数的概念.导数的几何意义.

2.如何求函数在某点处的导数.

学习评测

™

在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间存在函数关系（位移单位：，时间单位:）

1. 求在1s到2s内的平均速度；

2. 求s时的瞬时速度；

3. 求s时的导数.

™

思考探究

™

1. 如何用导数定义求函数的导数？

2. 如何由导数定义得到基本初等函数的导数公式？举例说明.

3. 如何由导数定义得到导数的四则运算法则？举例说明.

™

归纳生成

基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则.

学习评测

™

求下列函数的导数：

(1) (2)

（3） (4)

™

学习活动2——整体认知判断函数单调性的方法

思考探究

™

1、我们在必修课程学习了哪些判断函数单调性的方法？

2、已知函数，能否利用函数单调性的定义，利用不等式判断函数的单调性？已知直线上两个点的坐标为，能否求出直线的斜率并判断斜率的符号？

3、能否把上述两个结论结合起来判断函数的单调性，阅读课本p84-89，能否得到利用导数判断函数单调性的方法？

™

归纳生成

判断函数单调性的方法.

学习评测

™

求函数的单调区间.

™

学习活动3-构建一元函数导数及其应用知识结构

【学习目标】

1.研读文本，说出对导数概念及其几何意义的理解，如何用导数定义推导基本初等函数的导数公式及导数四则运算法则.

2.运用导数研究函数的性质和变化规律，归纳用导数研究函数单调性、极值、最大（小）值问题的步骤.

3.建立函数模型解决圆柱形蓄水池体积最大问题，总结利用导数研究生活中最优化问题的方法.

学习活动4——导数的概念与几何意义

问题一：导数的概念

™

设在10米跳台上，运动员跳离跳台时垂直向上的速度为,运动员在时刻距离水面的高度.

™

思考探究

™

1、计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

1）运动员在这段时间内使静止的吗？

2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

2、求运动员在时的瞬时速度时，可以考察附近的情况，列表表示到秒之间的平均速度.当（从两个方向）趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？

3、如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻在的瞬时速度？

4、类比瞬时速度与平均速度的关系，探究平均变化率与瞬时变化率的关系.

™

归纳生成

™

1、导数（瞬时变化率）的定义.

2、求函数在在处的导数的方法.

™

学习测评

™

1、求函数y=3在x=1处的导数.

2、质点运动规律为，求质点在的瞬时速度．

3、若可导函数f(x)的图象过原点，且满足＝－1，则f′ (0)＝(　　)

a、－2 b、－1 c、1 d、2

™

问题二：导数的几何意义

思考探究

™

1、如图，当点（，，，）沿着曲线趋近点时，割线的变化趋势是什么？如何定义曲线在点处的切线？

2、割线的斜率与切线的斜率有什么关系呢？

3、函数f（x）在x=x₀处的导数和切线pt的斜率k有什么关系？

4、当x=x₀时，是一个确定的数，那当x变化时，还是确定的数吗？

™

归纳生成

™

1、归纳导数的几何意义.

2、求曲线在某点处的切线方程的步骤.

3.函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系.

™

学习评测

™

1、如果曲线y＝f(x)在点(x₀，f(x₀))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(　　)

a、f′(x₀)＞0　　　　　　 b、f′(x₀)＜0

c、f′(x₀)＝0 d、f′(x₀)不存在

2、如图是函数f(x)及f(x)在点p处切线的图像，则f(2)＋f′(2)＝________.

™

学习活动5——探究导数的运算

问题一：导数的运算

思考探究

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度，那么，对于函数，如何求它的导数呢？

™

1、利用导数定义，求下列函数的导数：

（1） （2） （3） （4）

™

归纳生成

总结基本初等函数的求导公式并完成下列表格.

问题二：导数的运算法则

思考探究

_{1.，计算与，它们与和有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？}

2.设_{，计算与，它们是否相等？商的导数是否等于它们导数的商?}

3.一般的，对于两个函数和，如果通过变量，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作.

复合函数的导数：(表示对的导数，).

请你试着求函数的导数.

归纳生成

1. 归纳导数的四则运算法则.

2.简单复合函数的求导步骤.

学习测评

™

1、若幂函数f(x)＝mx^α的图象经过点a，则它在点a处的切线方程是(　　)

a、2x

y＝0 b、2x＋y＝0

c、4x－4y＋1＝0 d、4x＋4y＋1＝0

2. 求下列函数的导数.

1）; 2);

3、已知函数，且，求.

4、求下列函数的导数

1）

2）

3）

4）

™

学习活动6——利用导数研究函数的单调性、极值、最大（小）值

问题一：函数的单调性

思考探究

™

1、图（1），它表示跳水运动中高度随时变化的函数的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

2、观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

™

归纳生成

1.函数的单调性与导数符号的关系.

2.利用导数求函数单调性的步骤.

学习评测

™

1、设是的导函数，y＝图象如图，则y＝图象是(　　)．

0

2、求函数的单调性.

3、已知,求的单调区间.

™

问题二：函数的极值与最大（小）值

思考探究

™

1、观察右图，我们发现时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？

2、函数的极值点是不是唯一的？极大值一定比极小值大吗？请画图举例说明.

3、极值是最大值或最小值吗？

™

归纳生成

1.可导函数f(x)在处取得极值时导数符号的变化规律.

2.求可导函数f(x)的极值的步骤.

3.极值与最值的区别与联系.

学习测评

™

1、“点是函数极值点”是“”的（ ）

a、充要条件 b、充分不必要条件 c、必要不充分条件 d、既不充分也不必要条件

2、求出函数的极值，并求出其在区间上的最值.

3、已知在x＝1与x＝－时都取得极值．

1)求a，b的值；

2)若f(－1)＝，求f(x)的单调区间和极值．

™

问题三：运用导数解决生活中最优化问题

思考探究

™

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为vm³.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m²，底面的建造成本为160元/m²，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．

1)将v表示成r的函数v(r)，并求该函数的定义域；

2)讨论函数v(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

™

归纳生成

利用导数解决优化问题的基本思路：

【学习目标】

1.运用导数探究含参函数的性质，总结讨论函数单调性，求函数极值、最值的方法.

2.探究函数的零点相关的问题，归纳判断函数零点的思路.

3.结合函数不等式的相关问题，归纳用导数解决函数综合问题的一般思路.

学习活动7——运用导数探究含参函数的性质

™

1、德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，且对，，且总有，则下列选项正确的是（ ）

a、 b、

c、 d、

2、已知函数.讨论的单调性；

3、已知函数.讨论的单调性；

4、已知函数f(x)＝x²＋4x＋alnx，若函数f(x)在(1,2)上是单调函数，则实数a的取值范围是(　　)

a、(－6，＋∞)

b、(－∞，－16)

c、(－∞，－16]∪[－6，＋∞)

d、(－∞，－16)∪(－6，＋∞)

™

归纳生成

研究含参数函数的单调性的注意事项.　　

学习测评

™

1、已知函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d，若函数f(x)的图象如图所示，则一定有(　　)

a．b>0，c>0　　　 b．b<0，c>0

c．b>0，c<0　　　　 d．b<0，c<0

2、已知函数，.

1）讨论的单调性；

2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.

™

学习活动8——运用导数解决函数零点问题

思考探究

™

1、已知y＝f(x)为r上的连续可导函数，且xf′(x)＋f(x)＞0，则函数g(x)＝xf(x)＋1(x＞0)的零点个数为________．

2、已知函数.

1）若，求曲线在处的切线方程；

2）若函数有3个零点，求实数的取值范围.

3、已知函数f(x)＝(x＋a)e^x，其中e是自然对数的底数，a∈r.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a＜1时，试确定函数g(x)＝f(x

a)－x²的零点个数，并说明理由．

™

归纳生成

判断函数零点个数的3种方法：

学习测评

™

已知函数f(x)＝x＋

alnx．若函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线与直线2x＋y－1＝0平行．

1)求a的值；

2)若方程f(x)＝b的区间[1，e]上有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．

™

学习活动9——导数与不等式的综合

思考探究

™

1、已知是函数的导函数，且对任意的实数x都有，，则不等式的解集为______.

2、已知函数．

1）当时，求函数的单调区间；

2）是否存在实数a，使恒成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

™

归纳生成

不等式成立(恒成立)问题常见转化方法

学习测评

™

设函数f(x)＝e^2x

alnx.

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；

(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln.

™

【学习目标】

1. 复盘学习过程，以一元函数导数及其应用为核心，重构单元四大结构.

2. 完成单元过关，从知识、方法和能力等方面对过关试题进行纠错反思总结提升，运用导数研究函数的性质并解决生活中的最优化问题，形成构建导数模型解决实际问题的思维.

3.围绕导数的运算及应用进行二次过关，灵活发挥导数在研究函数问题中的作用.

单元重构

从导数的概念及其意义、运算、应用等方面层层深入，再次阅读《一元函数的导数及其应用》的课本内容及271bay相关资源，梳理本单元的核心知识和它们逻辑结构，重构思维导图.

基础过关——导数的运算

™

1、已知，则（ ）

a、 b、 c、 d、

2、已知函数，则（ ）

a、 b、 c、1 d、3

3、（多选题）下列求导数运算不正确的是（ ）

a、 b、

c、 d、

4、求下列函数的导函数：

1）；

2）．

™

应用过关——导数在函数中的应用

™

5、函数的单调递减区间为（ ）

a、 b、 c、 d、

6、设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极小值，则导函数的图像可能是（ ）

a、 b、

c、 d、

7、函数在点处的切线斜率为．

1）求实数a的值；

2）求的单调区间和极值．

™

单元过关检测：（时间：120分钟，满分：150分）

【过关要求】

1.独立完成，科学、合理安排时间；

2.认真审题，分析出条件和结论，灵活运用导数知识解决相关问题；

3.注意过程步骤规范书写，条理工整，左对齐，做最好的自己。

【整体重构过关】

1. 单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）

™

1、根据导数的定义，等于（ ）

a、 b、

c、 d、

2、曲线在点处切线的斜率为（ ）

a、1 b、2 c、3 d、4

3、如图是函数的导函数的图像，则下面判断正确的是( )

a、在区间（-2,1）上是增函数

b、在区间（1,3）上是减函数

c、在区间（4,5）上是增函数

d、当时，取极大值

4、设曲线在x＝0处的切线方程为则a＝(　　)

a、0 b、1 c、2 d、3

5、已知定义在上函数的导函数为，，有，且.设，，，则（ ）.

a、 b、 c、 d、

6、直线是曲线和曲线的公切线，则（ ）

a、 b、 c、 d、

7、设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为（ ）

a、 b、 c、 d、

8、若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）

a、 b、

c、 d、

9、若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（ ）

a、 b、 c、 d、

10、对于函数，下列说法正确的是（ ）

a、在处取得极大值 b、有两个不同的零点

c、 d、若在上恒成立，则

11、如图所示的是的导函数的图象，下列四个结论正确的是（ ）：

a、在区间上是增函数

b、是的极小值点；

c、在区间上是减函数，在区间上是增函数；

d、是的极小值点．

12、已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（ ）

a、 b、 c、 d、

13、已知函数，为的导函数，则的值为___________．

14、已知函数在处有极小值10，则___________．

15、已知函数，若正实数满足，则的最小值是__________．

16、已知函数有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是_____.

17、已知函数在处取得极值.

1）求实数的值；

2）当时，求函数的最小值.

18、已知函数

1）求函数在点处的切线方程；

2）求证：

19、设函数.

1）求函数的极大值点；

2）若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.

20、已知函数，其中.曲线在点处的切线斜率为.

1）求a的值；

2）求证：.

21、已知函数（a为常数）.

1）当时，求过原点的切线方程；

2）讨论的单调区间和极值；

3）若，恒成立，求a的取值范围.

22、已知函数.

1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；

2）若对都有成立，试求实数的取值范围；

™